1. 拉格朗日對偶問題舉例

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數f(x)滿足條件：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

2. 拉格朗日對偶方法

拉格朗日定理存在于多個學科領域中，分別為：流體力學中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦,則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質點的坐標位置（a、b、c），作為該質點的標志。 如果在一個正整數的因數分解式中，沒有一個數有形式如4k+3的質數次方，該正整數可以表示成兩個平方數之和。

3. 支持向量機拉格朗日對偶問題

拉格朗日法是描述流體運動的兩種方法之一，又稱隨體法，跟蹤法。

是研究流體各個質點的運動參數（位置坐標、速度、加速度等）隨時間的變化規律。綜合所有流體質點運動參數的變化，便得到了整個流體的運動規律。

在研究波動問題時，常用拉格朗日法

4. 拉格朗日對偶問題一定是凸優化

拉格朗日出生在意大利的都靈。由于是長子，父親一心想讓他學習法律，然而，拉格朗日對法律毫無興趣，偏偏喜愛上文學。

直到16歲時，拉格朗日仍十分偏愛文學，對數學尚未產生興趣。16歲那年，他偶然讀到一篇介紹牛頓微積分的文章《論分析方法的優點》，使他對牛頓產生了無限崇拜和敬仰之情，于是，他下決心要成為牛頓式的數學家。

在進入都靈皇家炮兵學院學習后，拉格朗日開始有計劃地自學數學。由于勤奮刻苦，他的進步很快，尚未畢業就擔任了該校的數學教學工作。20歲時就被正式聘任為該校的數學副教授。從這一年起，拉格朗日開始研究“極大和極小”的問題。他采用的是純分析的方法。1758年8月，他把自己的研究方法寫信告訴了歐拉，歐拉對此給予了極高的評價。從此，兩位大師開始頻繁通信，就在這一來一往中，誕生了數學的一個新的分支——變分法。

1759年，在歐拉的推薦下，拉格朗日被提名為柏林科學院的通訊院士。接著，他又當選為該院的外國院士。

1762年，法國科學院懸賞征解有關月球何以自轉，以及自轉時總是以同一面對著地球的難題。拉格朗日寫出一篇出色的論文，成功地解決了這一問題，并獲得了科學院的大獎。拉格朗日的名字因此傳遍了整個歐洲，引起世人的矚目。兩年之后，法國科學院又提出了木星的4個衛星和太陽之間的攝動問題的所謂“六體問題”。面對這一難題，拉格朗日毫不畏懼，經過數個不眠之夜，他終于用近似解法找到了答案，從而再度獲獎。這次獲獎，使他贏得了世界性的聲譽。

1766年，拉格朗日接替歐拉擔任柏林科學院物理數學所所長。在擔任所長的20年中，拉格朗日發表了許多論文，并多次獲得法國科學院的大獎：1722年，其論文《論三體問題》獲獎;1773年，其論文《論月球的長期方程》再次獲獎;1779年，拉格朗日又因論文《由行星活動的試驗來研究彗星的攝動理論》而獲得雙倍獎金。

在柏林科學院工作期間，拉格朗日對代數、數論、微分方程、變分法和力學等方面進行了廣泛而深入的研究。他最有價值的貢獻之一是在方程論方面。他的“用代數運算解一般n次方程(n4)是不能的”結論，可以說是伽羅華建立群論的基礎。

5. 拉格朗日典型例題

設給定二元函數z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數，其中λ為參數。求L(x,y)對x和y的一階偏導數，令它們等于零，并與附加條件聯立，即

L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，

L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，

φ(x,y)=0

由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。

6. 拉格朗日乘數法對偶問題

拉格朗日乘數原理（即拉格朗日乘數法）由用來解決有約束極值的一種方法。

有約束極值：舉例說明，函數 z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。

上述問題可以通過消元來解決，例如消去x，則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時消元將會很繁，則須用拉格朗日乘數法，過程如下：

令

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

令

f對x的偏導=0

f對y的偏導=0

f對k的偏導=0

解上述三個方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數原理在工程中有廣泛的應用，以上只簡單地舉一例，更復雜的情況（多元函數，多限制條件）可參閱高等數學教材。

7. 拉格朗日函數對偶問題

在分析力學里，一個動力系統的 拉格朗日函數，是描述整個物理系統的動力狀態的函數，對于一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能，以方程表示為

拉格朗日函數

拉格朗日函數

拉格朗日函數

拉格朗日函數

其中， 為拉格朗日量， 為動能， 為勢能。

在分析力學里，假設已知一個系統的拉格朗日函數，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加運算，即可求得此系統的運動方程。

8. 拉格朗日對偶問題和對偶問題

1.個人逐漸掌握了私有財產，便不再需要借助氏族的力量來群婚了，這是族外群婚難以維持的內在原因。

2.對偶婚比族外群婚先進，其先進性在于：對偶婚做為一種生產關系，更有利于強化私有制進而促進生產力的發展。